题1(文科卷试题)

　　已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1(n≥2).

　　(Ⅰ)求a₂，a₃；

　　(Ⅱ)证明

　　题2(文理合卷与新课程理科卷试题)

　　设a₀为常数，且a_n=3^n-1-2a_n-1(n为正整数).

　　(Ⅰ)证明对任意n≥1，

　　(Ⅱ)假设对任意n≥1有a_n＞a_n-1，求a₀的取值范围.

　　题3(理科卷试题)

　　(Ⅰ)设{a_n}是集合{2^t+2^s| 0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12，…….

　　将数列{a_n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

　　　　　　　　　　　　　　　3

　　　　　　　　　　　　　　5　　6

　　　　　　　　　　　　9　　10　　12

　　　　　　　　　　　………………………

　　　　　　　　　　……………………………

　　(Ⅰ)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

　　(Ⅱ)求a₁₀₀.

　　(Ⅱ)(本小题为附加题，如果解答正确加4分，但全卷总分不超过150分)

　　设{b_n}是集合{2^t+2^s+2^r| 0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列.已知b_k=1160，求k.

　　这几道试题所讨论的数列分别可看成是由等比数列{3ⁿ}或{Zⁿ}用特定方式派生而成，其综合性和难度，渐次加大.试题分别置于不同类型的试卷中，在考查数列基本知识的同时，着重考查分析处理问题的能力，数学思维与逻辑推理的能力，以及运算能力.对分类、归纳和转化、变换的数学思想方法，也进行了一定深度的考查.试题发挥了良好的测试选拔功能.

　　这些试题内涵丰富，有着广泛的拓展空间，令人联想多多.因而，试题也具有数学价值和学习价值.

　　就前两题而论，将递推关系式移项，可以发现：试题分别已知{a_n-a_n-1}和{a_n+2a_n-1}是等比数列{3^n-1}，并写出{a_n}的通项公式，让考生证明.对此，可用代入检验法证明，也可用数学归纳法证明，只涉及基本计算，难度不大.题2还进一步要求由{a_n}是递减数列，求常数a₀的取值范围.有一定门槛，但并非是高难度.

　　两道试题，相比之下，题1要容易得多.就是不给出通项，让考生自己求，难度也不会增加很多.这是因为由题设即有

　　a₂-a₁=3，

　　a₃-a₂=3²，

　　……

　　a_n-a_n-1=3^n-1.

　　将这n-1个式子相加，应用等比数列求和公式，并注意到a₁=1，便可得到通项.而题2，要是不给通项公式，让考生自己求，则难度立即陡升，计算也比较繁，得到的通项公式也比较复杂.因此，题1作为文科试题，题2作为文理合卷和新课程理科卷试题，这种安排，非常合适.

　　一个问题，用作试题时，必须从应试对象的状况出发，仔细权衡其难易程度，以保证测试功能.但当作为练习题或例题，用于教学时，则应更多地考虑其对学生的启发作用，能引发学生回味和联想的空间越大越有价值.前述所列题目，在这个方面也潜藏着很好的教育功能，可引发不少有用的习题或思考题.例如，当学生完成题1与题2之后，可进一步讨论这样一个颇具一般性的问题：

　　思考题：设a₀，p，q为常数，pq≠0，且a_n=q^n-1+pa_n-1(n为正整数)，试讨论数列{a_n}的通项公式，以及该数列的单调性.

　　把它作为中学生研究性学习的问题，相当恰当.要是将其再行引申扩展，还可产生出一些颇有意思的研究性学习“专题”.

　　对高考试题，帮助学生学会提问题，并加以讨论和解答，对于培养他们的创新精神和探究能力，必将产生积极的效果.

　　下面，就这里提出的思考题，作一些提要式的讨论，比较深入的探讨和推演，留给有兴趣的读者自己去做.

　　(1)该题已知{a_n-pa_n-1}是公比为q的等比数列，首项a₁-pa₀=1.所以

　　a_n-pa_n-1=q(a_n-1-pa_n-2)(n≥2)，

　　即a_n-qa_n-1=p(a_n-1-qa_n-2)(n≥2).

　　表明{a_n-qa_n}是公比为p的等比数列.这是一个十分有趣的论断，颇为值得玩味.

　　(2)注意到a₁=1+pa₀，当p≠q时，可通过解方程组

　　求得通项

　　当然，求通项还有其它多种方法.在这个公式中，取a₀=0(即a₁=1)，p=1，q=3，即得题1的结果；取p=-2，q=3，即得题2(Ⅰ)的结果.

　　这个公式，还启发我们可以考虑问题：两个等比数列的“代数和”是否仍为等比数列？为什么？

　　(3)当p=q时，上述解方程组求通项的方法失效.但可用迭代法或数学归纳法求得通项为

　　a_n=np^n-1+pⁿx₀，n=1，2，….

　　(4)数列{a_n}的单调性，与a₀，p，q的取值范围有关.实数组(a₀，p，q)可看作三维参数空间的一个点，要全面讨论{a_n}的单调性，须对三维空间进行区域划分.对中学生来说，这是一个十分困难的问题，只适宜于个别极为优秀的学生.对于一般基础的学生，可降维或作局部性的讨论.比如，讨论p=q的情形，则简单得多.又如，当pq=1时，难度也就不会很大.再如，就象题2之(Ⅱ)在给出p、q为具体数值的前提下，探讨{a_n}递减或递增的充要条件.

　　(5)当数列{a_n}既非递增又非递减时，可供探究的内容，也是十分丰富的.比如，可讨论最大的项或最小的项，可讨论某些不等式或等式.……

　　从这么几点简约的议论，已可见题1和题2内涵之丰富.在其诱发下，提出和思考各种有益的问题，本身也是一个培养创新精神发挥创造力的过程，不妨多提倡.

　　再来看看题3，同样可以联想产生一系列拓展性的问题，用于激发学生对数学的兴趣与追求，促进数学解题能力的提高.例如，可以提出诸如下述之类的问题，供学生练习或思考.

　　例1　设{a_n}是集合A={2^t+2^s| 0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列.求这个数列的通项a_n与前n项和M_n的求和公式.

　　简解：记集合

　　A_t={2^t+2^s| 0≤s＜t，且s∈Z}，t=1，2，….

　　则集合A_t由t个数组成，由小到大依次是

　　2^t+2⁰，2^t+2，…，2^t+2^t-1；

　　且

　　A=A₁∪A₂∪…∪A_t∪…；

　　当t₁＜t₂时，中的数都小于中的数.所以，

　　a_n=2^t+2^s.

　　的充要条件为整数n，t，s满足

　　对每个给定的正整数n，解这个方程不等式组可得整数解

　　其中，表示的整数部分.

　　因此，数列{a_n}的通项为

　　式中，t_n，s_n如式①，②所示.

　　若用T_t表示集合A_t中所有数的和，则

　　T_t=t2^t+1+2+…+2^t-1=(t+1)2^t-1.

　　从而，可得{a_n}的前n项和为

　　式中，t_n，s_n如式①，②所示.

　　例2　设实数p＞1，整数m≥2，数列{c_n}是集合中所有的数从小到大排列成的数列，讨论的充要条件.

　　当m=2时，若取p=2，也就是例1中求数列{a_n}的通项之问题，可将结果移植到这里来.即：

　　当m=2时，的充要条件为n，t₁，t₂满足

　　借用组合数记号，并且约定：当m＞n时，规定，则上式中等式可写成

　　当m=3时，若取p=2，则已知条件与题3之(Ⅱ)相同，可知n与t₁，t₂，t₃的关系为

　　因此，可尝试用数学归纳法来论证例2所求的充要条件为n，t₁，t₂，…，t_m满足

　　应用例1的解题思路和方法，可得m=2结论成立.进而，只须假设m=k≥2时，结论成立，证明m=k+1时结论也成立.即：

　　假设当集合时，

　　的充要条件为

　　现考虑时的情形.记集合

　　则集合M_i是有限集，所含的元素的个数为.将集合M_i中的数，从小到大排列，那么，根据归纳假设，数所在位置的序号为

　　其次，当i≠j时，M_i∩M_j=φ，当i＜j时，M_i中的数都小于M_j中的数，且

　　M=M_k∪M_k+1∪…∪M_k+l∪…

　　所以，将集合M中的数从小到大排列成数列{c_n}，则的充要条件是0≤t₁＜t₂＜…＜t_k+1且

　　即当m=k+1时，结论也成立.

　　在开发高考试题的教育功能时，虽然不必拘泥于高考的考试说明，可放开思路，更多地着眼于学习和发展，但也应当从学生的实际出发，不宜延拓无边.就上文提出的一些问题，多数比较适宜于有相当数学基础的学生.对于基础薄弱者，应当有所调整.对这部分学生，甚至不太适宜引导他们关注高考中难度较大的试题，而适合花多一些功夫考完基本题与中档题，发掘其用于教学的价值，同样也能够开发出各种有用的问题，用于促进学生解题能力的提高.