影儿 | 发布日期:2010-03-14 21:35:15
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冯忠 梯形作为特殊的四边形,在求解时常常需要转化为三角形或平行四边形等来解决。于是,梯形添加辅助线的方法就成为同学们学习时的一个难点。为此,笔者根据教学中的经验,归纳总结了一个梯形添加辅助线方法的口诀,这里介绍给大家并举例说明之。 梯形问题中,转化很重要, 平移对角线,平移梯形腰, 作出梯形高,延长两腰来相交, 中位线要想到,一腰中点等积变。 例1. 如图1,已知在梯形ABCD中,AD//BC,AC=BD,求证:AB=CD 图1 证明:过点D作DE//AC,交BC的延长线于点E。因为DE//AC,所以 。又因为AD//BC,所以四边形ACED为平行四边形,所以AC=DE,又因为AC=BD,所以BD=DE,所以,所以 在 和 中 所以 所以AB=DC 例2. 如图2,已知梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,求证: 图2 证明:过点D作DE//AB,交BC于一点E,因为AB//DE,所以 。又因为AD//BC,所以四边形ABED为平行四边形,所以AB=DE,又因为AB=DC,所以DE=DC,所以,所以 例3. 如图3,在梯形ABCD中,, ,AD//BC,AD=3,DC=6,求梯形的面积S。 图3 解:过点A、D分别作 , ,垂足分别为E、F 在 中,因为 ,所以 所以 , 在 中,因为 ,所以AE=BE,因为AD//BC,, ,所以四边形AEFD为矩形,所以 ,所以 ,所以 例4. 已知,如图4,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,求证:梯形ABCD为轴对称图形。 图4 证明:延长BA、CD交于点E,过点E作 ,交BC于G,交AD于F,因为 ,所以 。又因为AD//BC,所以 ,因为 ,所以 ,即EG垂直平分AD、BC。又因为, ,所以梯形ABCD关于EG对称,所以梯形ABCD为轴对称图形。 例5. 如图5,已知梯形ABCD中,AD//BC,E为AB的中点,且,求证: 图5 证明:取CD中点M,连结EM,因为EM为梯形ABCD的中位线 所以 又因为 ,所以 所以 为 ,所以 例6. 如图6,已知在梯形ABCD中,AD//BC,M、N为腰AB、DC的中点,求证:(1)MN//BC;(2) 图6 证明:连结AN并延长,交BC的延长线于点E,因为, 所以 所以 , 又 所以MN是 的中位线,所以MN//BC, 因为 所以
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