影儿 | 发布日期:2010-02-25 14:20:31
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完全平方公式是多项式乘法中非常重要的一个公式。掌握其变形特点并灵活运用,可以巧妙地解决很多问题。 一. 完全平方公式常见的变形有 a2+b2=(a+b)2-2ab, a2+b2=(a-b)2+2ab, (a+b)2-(a-b)2=4ab, a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+ac+bc) 二. 乘法公式变形的应用 例1: 已知:x2+y2+4x-6y+13=0,x、y均为有理数,求xy的值。 分析:逆用完全乘方公式,将 x2+y2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和,利用完全平方式的非负性求出x与y的值即可。 解:∵x2+y2+4x-6y+13=0, (x2+4x+4)+(y2-6y+9)=0, 即(x+2)2+(y-3)2=0。 ∴x+2=0,y=3=0。 即x=-2,y=3。 ∴xy=(-2)3=-8。
分析:本题巧妙地利用
例3 已知:a+b=8,ab=16+c2,求(a-b+c)2002的值。 分析:由已知条件无法直接求得(a-b+c)2002的值,可利用(a-b)2=(a+b)2-4ab确定a-b与c的关系,再计算(a-b+c)2002的值。 解:(a-b)2=(a+b)2-4ab=82-4(16+c2)=-4c2。 即:(a-b)2+4c2=0。 ∴a-b=0,c=0。 ∴(a-b+c)2002=0。 例4 已知:a、b、c、d为正有理数,且满足a4+b4+C4+D4=4abcd。 求证:a=b=c=d。 分析:从a4+b4+C4+D4=4abcd的特点看出可以化成完全平方形式,再寻找证明思路。 证明:∵a4+b4+C4+D4=4abcd, ∴a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0, (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0。 a2-b2=0,c2-d2=0,ab-cd=0 又∵a、b、c、d为正有理数, ∴a=b,c=d。代入ab-cd=0, 得a2=c2,即a=c。 所以有a=b=c=d。 练习: 1. 已知:x2+3x+1=0。
2. 已知x,y,z满足条件
求:(1)x2+y2+z2 (2)x4+y4+z4的值 3. 已知:x=a2+b2,y=c2+d2。 求证:x,y可表示成平方和的形式。 4. 已知:ad-bc=1 求证:a2+b2+c2+d2+ad+cd≠1。 |