<!-- /* Font Definitions */ @font-face {font-family:宋体; panose-1:2 1 6 0 3 1 1 1 1 1; mso-font-alt:SimSun; mso-font-charset:134; mso-generic-font-family:auto; mso-font-pitch:variable; mso-font-signature:3 135135232 16 0 262145 0;} @font-face {font-family:"\@宋体"; panose-1:2 1 6 0 3 1 1 1 1 1; mso-font-charset:134; mso-generic-font-family:auto; mso-font-pitch:variable; mso-font-signature:3 135135232 16 0 262145 0;} /* Style Definitions */ p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.MsoNormal {mso-style-parent:""; margin:0cm; margin-bottom:.0001pt; text-align:justify; text-justify:inter-ideograph; mso-pagination:none; font-size:10.5pt; mso-bidi-font-size:12.0pt; font-family:"Times New Roman"; mso-fareast-font-family:宋体; mso-font-kerning:1.0pt;} /* Page Definitions */ @page {mso-page-border-surround-header:no; mso-page-border-surround-footer:no;} @page Section1 {size:612.0pt 792.0pt; margin:72.0pt 90.0pt 72.0pt 90.0pt; mso-header-margin:36.0pt; mso-footer-margin:36.0pt; mso-paper-source:0;} div.Section1 {page:Section1;} -->

完全平方公式是多项式乘法中非常重要的一个公式。掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。

一. 完全平方公式常见的变形有

a²+b²=（a+b）²-2ab，

a²+b²=（a-b）²+2ab，

（a+b）²-（a-b）²=4ab，

a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+ac+bc）

二. 乘法公式变形的应用

例1： 已知：x²+y²+4x-6y+13=0，x、y均为有理数，求x^y的值。

分析：逆用完全乘方公式，将

x²+y²+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x与y的值即可。

解：∵x²+y²+4x-6y+13=0，

（x²+4x+4）+（y²-6y+9）=0，

即（x+2）²+（y-3）²=0。

∴x+2=0，y=3=0。

即x=-2，y=3。

∴x^y=（-2）³=-8。

分析：本题巧妙地利用

例3 已知：a+b=8，ab=16+c²，求（a-b+c）²⁰⁰²的值。

分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c）²⁰⁰²的值，可利用（a-b）²=（a+b）²-4ab确定a-b与c的关系，再计算（a-b+c）²⁰⁰²的值。

解：（a-b）²=（a+b）²-4ab=8²-4（16+c²）=-4c²。

即：（a-b）²+4c²=0。

∴a-b=0，c=0。

∴（a-b+c）²⁰⁰²=0。

例4 已知：a、b、c、d为正有理数，且满足a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd。

求证：a=b=c=d。

分析：从a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd的特点看出可以化成完全平方形式，再寻找证明思路。

证明：∵a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd，

∴a⁴-2a²b²+b⁴+c⁴-2c²d²+d⁴+2a²b²-4abcd+2c²d²=0，

（a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0。

a²-b²=0，c²-d²=0，ab-cd=0

又∵a、b、c、d为正有理数，

∴a=b，c=d。代入ab-cd=0，

得a²=c²，即a=c。

所以有a=b=c=d。

练习：

1. 已知：x²+3x+1=0。

2. 已知x，y，z满足条件

求：（1）x²+y²+z²

（2）x⁴+y⁴+z⁴的值

3. 已知：x=a²+b²，y=c²+d²。

求证：x，y可表示成平方和的形式。

4. 已知：ad-bc=1

求证：a²+b²+c²+d²+ad+cd≠1。